Paradosso o reale? Questo è il problema! La storia della matematica ha conosciuto molte situazioni critiche che nemmeno le menti più geniali di tutti i secoli sono riuscite a risolvere.
La matematica, soprattutto nelle scuole elementari, vi viene spiegata con tabelline, numeri e figure geometriche. In realtà, soprattutto a partire dalla seconda metà del XIX secolo, la matematica è entrata in una vera e propria crisi esistenziale. I filosofi hanno chiamato questa messa in dubbio della matematica, la scienza esatta per antonomasia, la “crisi delle certezze“. Se si pensa che i primi matematici erano proprio filosofi, non sorprende che questi abbiano voluto dimostrare l’impossibile e il paradossale grazie ad un’arte speculativa. La matematica, invece, è sempre stata una scienza esatta, coi piedi per terra. Ma la si può considerare davvero così “esatta”? Soprattutto con lo sviluppo della relatività e la discussione allo spazio euclideo (ovvero: il foglio di carta su cui siete abituati a disegnare), il pensiero matematico è riuscito ad elaborare problemi davvero al limite del paradosso e, nonostante le innumerevoli congetture per risolverli, si è ancora scettici ad accettare un’univoca interpretazione. Preparatevi, dunque, a spremervi le meningi come su un frullatore: qui non si parla solo di equazioni ed integrali, ma di logica matematica. Che sia questo il paradosso?
IL PARADOSSO DEL BIBLIOTECARIO
Il paradosso del bibliotecario è una variante più comprensibile ed accessibile del paradosso di Russell. Immaginate un bibliotecario a cui viene affidato il compito di produrre due serie di cataloghi che contengano ciascuno dei libri con determinate caratteristiche. Fin qui tutto normale, direte voi. Ma a questo punto arriva il bello!
Per facilitare il ragionamento, facciamo finta che il bibliotecario abbia costituito due gruppi: il gruppo dei libri che contengono la parola “catalogo” nel titolo e quelli che non lo contengono. Nel momento in cui il bibliotecario decidesse di realizzare un “catalogo dei cataloghi“, a quale gruppo dovrebbe appartenere? Se per ipotesi dovesse appartenere al primo gruppo (ovvero a quello in cui figura nel titolo “catalogo“), non dovrebbe appartenere esso stesso al gruppo? Inoltre, se raggruppare i libri del secondo gruppo, non dovrebbe allora a sua volta essere contenuto nel primo?
Vi siete persi? Allora continuiamo!
IL PARADOSSO DEL MENTITORE
Questo è un paradosso antico come il mondo, risalente ad Epimenide di Creta nel VI secolo a.C. Che cosa fareste se una persona dovesse dirvi: “Io mento“. Se stesse dicendo davvero una bugia, allora la frase sarebbe vera, e quindi non sta mentendo; se la frase fosse falsa, si affermerebbe il contrario di quello che si sta pensando, cioè che si sta dicendo la verità.
Tempi duri erano quelli dei Greci e dei filosofi. Peccato che non sapessero chi fosse Pinocchio: avrebbe loro semplificato la vita notevolmente!
IL PARADOSSO DEL GRAND HOTEL
Questo paradosso celebre è stato inventato da David Hilbert per mostrare le caratteristiche del concetto di infinito. Come al solito, la semplificazione degli enunciati è necessaria affinché non si impazzisca davanti al computer.
Il paradosso recita che in un albergo ci sono infinite stanze e anche se fossero tutte piene ce ne sarebbe almeno una libera in più per poter accogliere nuovi avventori: se ipotizziamo arrivi un solo nuovo ospite, si può intuire che il concierge sposti tutti gli ospiti di una stanza in avanti (banalmente: l’ospite n°1 alloggerà adesso nella stanza n°2, l’ospite n°2 nella 3° e via discorrendo…).
Immaginiamo adesso che questa fantomatica città di questo fantomatico hotel ospiti un torneo di palla canestro al quale partecipino tutte le squadre di tutti i paesi, di tutte le regioni, di tutti gli stati del mondo e di ogni angolo della galassia. Capite benissimo che un numero così grande, se non è pari all’infinito, ci si avvicina molto! Come soddisfare tutti i clienti? Hilbert propone di far spostare i vecchi ospiti nelle camere pari e quelli nuovi nelle camere dispari per evitare ulteriori disagi e spazientire chi ha già dovuto cambiare stanza una volta…
Nonostante questo “non-paradosso” possa sembrare elementare, all’epoca della sua formulazione ha permesse di comprendere, in merito alla teoria degli insiemi, le differenze sostanziali fra insiemi finiti ed infiniti, aprendo le porte all’aritmetica moderna di cui qui non è luogo adatto per parlarne…
IL PARADOSSO DEL GATTO
Schrodinger, fisico e matematico austriaco vincitore del Nobel nel 1933, elabora questo esperimento mentale per illustrare come la teoria della meccanica quantistica presenti una situazione paradossale se applicata a sistemi macroscopici, quindi visibili, anziché a sistemi microscopici, perciò invisibili.
Banalizziamo: Schrodinger immaginò di chiudere un gatto in una scatola inseme ad una boccetta di veleno. Il gatto è vivo o morto? Non lo si può sapere fino a che non si apre la scatola perché i due stati di vita e di morte sono mescolati l’uno con l’altro. Non esistono stati puri nella scatola e l’unico risultato che possiamo aspettarci è quello di ottenere un gatto zombie! Ma questo, evidentemente, non è possibile…
IL PARADOSSO DELL’UGUAGLIANZA
Per concludere, esiste una dimostrazione paradossale che fende vera l’uguaglianza 1=2. E voi che pensavate di saper contare bene? In realtà, questa dimostrazione è ciò che viene chiamata “sofisma algebrico“: detto spiccio, è solo un errore per far cadere in fallo gli allocchi! State a vedere…
Supponiamo a e b due numeri qualsiasi. Se imponiamo che a=b, allora qualsiasi operazione porterà ad uno stesso risultato, che si aggiunga, si elevi alla n-sima potenza, si moltiplichi per una stessa quantità.
Supponiamo a questo punto di moltiplicare entrambi i termini per uno stesso numero (nel nostro caso a) e poi di togliere una stessa quantità, una quantità qualsiasi (che nel nostro caso è b*b) per i principi di conservazione che regnano in matematica ottenendo così un espressione del genere:
a*a – b*b = a*b – b*b
Per le regole base dell’aritmetica, l’espressione precedente può essere tradotta come segue. Provare per credere!
(a–b)*(a+b) = b*(a–b)
Come abbiamo detto prima, se due quantità sono uguali, qualsiasi numero si sottragga loro o si divida, moltiplichi o si addizioni, si ottiene sempre un’uguaglianza. In questo caso, se dividiamo entrambi i termini per a-b, otteniamo una nuova espressione, sempre vera, per le condizioni di partenza:
a+b = b
Attenzione qui! Ricordate cosa abbiamo detto all’inizio? Avevamo imposto che a = b. Perciò possiamo scrivere che b+b = b, ovvero:
2b = b
E non è forse un modo un po’ diverso per dire che 2=1, ovvero che il doppio di un numero è uguale al numero stesso?
Non vi convince questa dimostrazione? Pensate che sia una dimostrazione impeccabile che ha sconvolto tutte le vostre certezze? Oppure pensate che sia una cialtroneria? Ma non siamo qui a darvi la soluzione! Trovatevela da sola, pelandroni!
Paradosso o realtà? Che cos’è la matematica? Avete trovato delle soluzioni? Commentate e mettete “Mi piace” su Social Up se volete scoprire altre curiosità che stimolino la vostra mente! #scienzesocialup
